Quattro colori bastano, ma non si sa perché

Alle due funzioni tradizionali dell’università, la ricerca e la formazione, si è progressivamente affiancata la cosiddetta terza missione, con l’importante componente della comunicazione culturale e scientifica. Evidente ne è la richiesta di qualità.

Il periodico Le Scienze, in edicola da 55 anni, contribuisce efficacemente alla comunicazione scientifica. Le sue uscite mensili si sono arricchite nel tempo con l’offerta di allegati. Una serie di essi, in corso di pubblicazione, è la collana Rivoluzioni matematiche, proposta di 19 brevi monografie.

Mi voglio qui soffermare sul contenuto di due di questi volumetti, relativi a due celebri teoremi. Il primo è il Teorema dei quattro colori, scritto da Donatella Iacono e Sabina Milella, allegato a Le Scienze di agosto 2023 e ora in edicola. Il secondo è il Teorema egregium di Gauss, di Nicola Ciccoli, apparso con Le Scienze di aprile 2023.

Il Teorema dei Quattro Colori

Il teorema dei quattro colori nasce dalla constatazione che le carte geografiche politiche possono essere colorate con solo quattro colori. Con un colore diverso per ogni coppia di stati (o regioni, province, contee dell’Inghilterra, …) che condividano un tratto di confine. E indipendentemente dalle configurazioni politiche, per ogni immaginabile e complicata carta geografica. Un fatto congetturato verso la metà del XIX secolo, ovvero considerato verosimile, anche se all’epoca non ancora dimostrato.

La prima dimostrazione attendibile del teorema dei quattro colori è del 1976. Kenneth Appel e Wolfgang Haken, dell’Università dell’Illinois a Urbana, ridussero il problema a solo 1936 casi, esaminati poi con alcune migliaia di ore di lavoro di più computer. La dimostrazione, esposta l’anno successivo in un articolo di 138 pagine, non consentiva il controllo della sola mente umana.

“Four colors suffice”, ricordò per molti anni ai destinatari la posta in uscita dal Dipartimento di Matematica dell’Università dell’Illinois a Urbana.

La dimostrazione di Appel e Haken dava certezza all’enunciato, ma non era del tutto soddisfacente nello spiegare perché quattro colori siano sufficienti. Una questione che può essere raccontata ai ragazzini deve avere una spiegazione logica forse non semplicissima, ma almeno comprensibile agli umani mortali, o quanto meno ai matematici. Ben sappiamo, ricordando per esempio la dimostrazione studiata a scuola del teorema di Pitagora, che dimostrare un teorema significa dire le ragioni per cui un enunciato è vero.

Appel e Haken ridussero successivamente sia il numero dei casi da esaminare con i computer, sia il numero di ore del loro utilizzo. Nel 1989 pubblicarono un libro di 741 pagine contenente molti più dettagli della loro dimostrazione, con numerosi diagrammi, liste, tavole, miniature di grafi. Ma naturalmente senza la possibilità di includere integralmente l’essenziale parte assistita dai computer. Altre dimostrazioni seguirono negli anni successivi, anche con approcci un po’ diversi, ma nessuna di tipo tradizionale, ovvero senza ricorso all’ausilio dei computer.

Il teorema dei quattro colori è dunque un esempio che illustra i limiti della nostra scienza, che non è sostanzialmente in grado di comunicare un comprensibile perché di una questione semplicissima e del tutto accertata.

Il Teorema egregium di Gauss

Oggetto del libretto allegato lo scorso aprile a Le Scienze, il teorema egregium di Gauss è invece un esempio di come una dimostrazione, non facile ma umanamente accessibile, possa rivestire una grande importanza storica. I suoi approfondimenti successivi aprirono grandi prospettive, portando assai lontano.

Insieme ad Archimede, Gauss è usualmente considerato il più grande matematico di tutti i tempi. Innumerevoli sono i suoi teoremi, non pochi quelli che vengono insegnati nei corsi di laurea scientifici. Ad un solo suo teorema Gauss volle però associare un aggettivo elogiativo, e si tratta appunto del teorema egregium. Il lavoro che lo contiene, del 1827, è scritto in latino, all’epoca la lingua per la comunicazione scientifica internazionale.

Il teorema egregium tratta di una nozione presente nel vocabolario: la curvatura. Tutti abbiamo esperienza di dover rallentare in curva la velocità di guida, con un rallentamento maggiore se la curva è stretta, ovvero se ha curvatura più elevata. In matematica la curvatura di una curva è la velocità di variazione della sua retta tangente. Un ipotetico abitante di una curva, che non possa guardare fuori di essa, non ha quindi modo di apprezzarne la curvatura e di distinguere se si trova su una curva stretta, su una curva larga, o su una retta.

Il teorema egregium non riguarda in realtà la curvatura delle curve, ma quella delle superfici bidimensionali. Una nozione un po’ più complessa: possiamo pensare a un paesaggio collinare o di montagna, alle diverse curvature che incontriamo spostandoci da un punto all’altro, o cambiando la direzione in cui camminiamo. Una sintesi è una curvatura definita in modo da dipendere solo dalla posizione. Gauss denotò con il simbolo K tale curvatura, che verrà poi chiamata curvatura gaussiana della superficie. Il contenuto del teorema egregium è che, diversamente dal caso delle curve, K può ben essere apprezzata da un ipotetico abitante della superficie anche senza guardare fuori di essa. Ovvero che K è una misura (alquanto sofisticata) sulla superficie. Ovvero ancora, per dirla con una sola parola, che la curvatura gaussiana K di una superficie è intrinseca, mentre la curvatura di una curva è estrinseca.

Questa sensibile differenza di comportamento della curvatura, tra la dimensione 1 delle curve e la dimensione 2 delle superfici, verrà sviluppata nella seconda metà del XIX secolo. Nel contesto di un’estensione multidimensionale della nozione di curvatura, prendendo le mosse dalla dimostrazione di Gauss del teorema egregium. Si tratta della costruzione di una grande teoria che iniziò nel 1854 con la più celebre “academic job talk” della storia della matematica: la lezione di abilitazione all’Università di Gottinga di Bernhard Riemann, matematico di statura assai vicina a quella di Gauss.

La teoria iniziata da Riemann costituisce oggi la geometria riemanniana, capitolo importante e tuttora in evoluzione della matematica. Una celebre sua applicazione è stata la relatività generale di Albert Einstein. Negli anni 1912-1915 della genesi della sua teoria, Einstein ebbe un’intensa corrispondenza con il matematico Tullio Levi Civita, cui è dovuta una fondamentale chiarificazione sulle curvature intrinseche multidimensionali introdotte da Riemann. Nella relatività generale, teoria geometrica della gravitazione, la curvatura quadridimensionale dello spazio-tempo esercita un ruolo di intermediario nelle interazioni gravitazionali.

Come quella delle superfici nel teorema egregium di Gauss, la curvatura dello spazio-tempo relativistico può ben essere apprezzata da suoi abitanti, che siamo noi.

Le vicende dei due teoremi di cui ho parlato inducono a riflettere su come la comprensione profonda di una dimostrazione, di cui è capace la mente umana, possa veramente fare la differenza. E anche essere premessa di qualcosa di nuovo e a priori lontano. Speriamo di non dimenticarlo, in questi tempi di crescente utilizzo dell’intelligenza artificiale.

Immagine di copertina: World map colored to illustrate the four colors theorem, by XalD, Wikimedia Commons.